Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - \sin^{2} (t) = 0$

Paso 2

Resuelve $t$

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Paso 2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin^{2} (t) = - 1$

Paso 2.2

Divide cada término en $- \sin^{2} (t) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- \sin^{2} (t) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin^{2} (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Divide $\sin^{2} (t)$ por $1$ .

$\sin^{2} (t) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin^{2} (t) = 1$

Paso 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (t) = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (t) = \pm 1$

Paso 2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (t) = 1$

Paso 2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (t) = - 1$

Paso 2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (t) = 1, - 1$

Paso 2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $t$ .

$\sin (t) = 1$

$\sin (t) = - 1$

Paso 2.7

Resuelve $t$ en $\sin (t) = 1$ .

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Paso 2.7.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$t = \arcsin (1)$

Paso 2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.2.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Paso 2.7.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$t = π - \frac{π}{2}$

Paso 2.7.4

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.7.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.7.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 2.7.4.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$t = \frac{π}{2}$

Paso 2.7.5

Obtén el período de $\sin (t)$ .

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Paso 2.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.7.6

El período de la función $\sin (t)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8

Resuelve $t$ en $\sin (t) = - 1$ .

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Paso 2.8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$t = \arcsin (- 1)$

Paso 2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.8.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.8.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.8.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.8.5

Obtén el período de $\sin (t)$ .

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Paso 2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.8.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.8.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 2.8.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.6.3

Combina fracciones.

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Paso 2.8.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.8.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.8.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.8.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$t = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.8.7

El período de la función $\sin (t)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$t = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Enumera todas las soluciones.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.10

Consolida las respuestas.

$t = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${t | t = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4